Lo ZERO (e non solo) nella Matematica
Un’ipotesi matematica è presentata come una normale conversazione tra due ricercatori. Il dialogo che avviene in una breve ricreazione, rilassante e piacevole, serve da tonificante mentale alle stressanti e spesso ripetitive azioni che i due studiosi devono compiere, talvolta con risultati solo parziali, per portare avanti la loro complessa ricerca.
John … Sai cosa mi infastidisce nella matematica? …
Serghey ehm … cosa ti frulla, oggi, per la testa, a cosa alludi?
John … lo “ZERO”. Lo zero nella matematica; non lo sopporto … in alcuni casi diventa qualcosa che va contro la logica, contro la ragione; il più delle volte è incoerente, irrazionale, indefinito.
Serghey … è vero! Molte persone , anche nei secoli passati, hanno cercato di dare una definizione, di interpretare, di capire, di tentare di trovare nuovi risultati; hanno tratto delle conclusioni con diversi espedienti, ma il più delle volte con esiti disastrosi.
John Bah! A volte rimango perplesso! L’aritmetica dovrebbe essere la base perfetta per tutta la matematica … ma lo zero, tolta l’addizione e la sottrazione, mentalmente mi disturba.
Serghey … in effetti, visto che lo zero equivale a nulla … a niente … ad un’assenza completa di quantità o di valore, nella somma o nella differenza aritmetica, non crea alcun problema, anzi possiamo anche ometterlo e …
John Si … certo, ma proviamo ad esaminare le altre operazioni; partiamo per esempio dalla moltiplicazione che, in fin dei conti, non è poi quella che crea i maggiori interrogativi; eppure, le regole che si presentano come convenzionali … sotto un certo aspetto mi infastidiscono … sono contrarie ad una logica razionale.
Serghey Si, … in effetti; in un certo senso …
John E’ contro logica! Qualsiasi numero, sia piccolo che immenso, moltiplicato per Zero, ci dà sempre lo stesso risultato! E’ pazzesco … voglio dire che sarà corretto, ma per l’intelligenza umana, tutto ciò risulta assurdo, irragionevole.
Serghey In questo senso, anch’io ho alcune perplessità. Mi fa pensare ad una matematica imprecisa e talvolta un po’ ambigua.
John Stavo pensando anche un’altra cosa …
Serghey … sempre con logica e ragionevolezza … ehm … immagino?
John …. Alcuni matematici, sostengono che il risultato, di Zero fratto Zero, sia l’unità. Semplicemente, si basano sul rapporto fra due numeri identici. Anche per me, almeno mentalmente, in una frazione in cui scelgo numeri sempre più piccoli, numeri infinitesimi che si avvicinino il più possibile allo Zero, mi trovo sempre con lo stesso risultato: l’unità.
Serghey … questo è vero per qualsiasi numero piccolissimo, ma se arrivi ad eseguire Zero fratto Zero, e dici che il risultato è uguale ad 1, troverai una schiera di matematici che prima ti “azzannerà” e poi potrà dimostrarti che se Zero fratto Zero è uguale ad 1, allora anche 2 è uguale ad 1.
John si … lo so, ma si basano su una regola artificiosa (a2 - b2) il cui scomponimento "(a+b) (a-b)" che non può essere applicata quando "a-b" dà come risultato Zero e nel contempo è ingannevole in quanto quel risultato inizialmente definito, diventa poi, per la (loro) matematica classica, indefinito, indeterminabile.
Serghey … prima, a proposito del ragionamento sui due numeri distinti moltiplicati per Zero, che per logica avrebbero dovuto dare risultati diversi … a mio avviso esistono tante altre irrazionalità: … se prendiamo un valore qualsiasi (V) e lo mettiamo in una espressione dove questo valore viene moltiplicato e poi diviso per Zero (V*0:0), il risultato diventerà indeterminato!!! ... ma la ragione in parte si rifiuta di accettarlo ... diventa quasi inconcepibile che quel valore moltiplicato prima e diviso poi, per uno stesso numero, divenga indefinito. Una logica razionale mi porterebbe a dire che quel valore non debba variare!!! ehm … scusa ma ti avevo interrotto quando stavi parlando delle frazioni con numeri sempre più piccoli. Sei arrivato a parlare di numeri infinitesimi; ma secondo te che cos’è “Un Infinitesimo”. Riesci ragionevolmente ad immaginarlo?
John Ehm … più o meno; in generale, penso che se noi prendessimo una qualsiasi cosa unitaria e la “spezzettassimo” in un numero infinito di parti, otterremmo un numero infinito di Infinitesimi che, una volta rimessi insieme, formeranno nuovamente l’unità. Mentalmente, dare un valore in matematica e immaginare “Un Infinitesimo”, è un po’ come immaginare uno Zero virgola un infinito numeri di Zeri, seguiti da un 1 (0,000000…1), così come immaginare 2 Infinitesimi sia 0,000000…2
Ma nello stesso tempo capisco che risulta un paradosso, in quanto essendo il numero di zeri infinito, non può, almeno per la nostra logica, essere seguito da alcuna cifra. E tu, riesci ad immaginarlo?
Serghey Vagamente; ... il tuo paradosso è … concepibile, ma credo che si possa ipotizzare anche in altra maniera …
John Lo sai che mi piace ragionare con te; dai … dimmi!
Serghey Provo a farti una domanda matematica semplice semplice: se da una unità, sottraggo il valore Zero virgola 9 periodico (1 – 0,999999….), quale sarà il risultato?
John Beh, anche questa mi sembra incoerente, ma in matematica il risultato è perfettamente Zero!
Serghey …. dai, da te, questa non me lo aspettavo …
John Aspetta, come ti dicevo fa Zero nella matematica classica, ma ragionandoci sopra e sviluppando quella sottrazione dovrei trovare come valore proprio “Un Infinitesimo”, ma sono convinto che lo pensi anche tu!
Serghey Si … Certo che si!
John … dai dimmi … credo che stiamo pensando la stessa cosa …
Serghey Sostituire lo Zero con qualcosa di infinitamente piccolo?
John Sì. Almeno nelle moltiplicazioni e nelle divisioni. Ecco perché mi piace trattare un argomento con te; ci vuoi arrivare sempre per ragionamento; e sotto quest’aspetto, noi, abbiamo molto in comune.
Serghey … ragionamenti, ..semplici, complessi … talvolta sconclusionati …
John E’ vero. Ma questa dell’Infinitesimo mi piace; perlomeno non contrasta quella logica razionale che portava qualsiasi numero moltiplicato per Zero allo stesso risultato (nullo).
Serghey … Beh in effetti moltiplicare 5 per Zero, oppure un miliardo per Zero, in questo modo ci porterebbe due risultati distinti: 5 Infinitesimi ed un miliardo di Infinitesimi!
John Esatto; poi che 5 Infinitesimi, un miliardo di Infinitesimi oppure qualsiasi numero finito di Infinitesimi sia più vicino allo Zero che a qualsiasi altro numero, non cambia la matematica e a dir poco risulta ininfluente rispetto a qualsiasi calcolo per preciso che possa essere. E si risolverebbe anche quel problema che, moltiplicando e poi dividendo per Zero un qualsiasi numero otterremmo nuovamente il numero iniziale.
Serghey ... ??
John provo a fare un esempio, prendo un numero a caso e lo moltiplico e divido per Zero: 
Serghey ... provo a seguirti ...
John Bene! Prima abbiamo detto che lo Zero lo consideriamo come un infinitesimo (1/∞). Ora abbiamo detto che 8*0 è uguale a 8 infinitesimi e che se dividiamo quel risultato (8/∞) per Zero ( cioè 1/∞ ) otteniamo " 8/∞ * ∞ " = 8 (cioè il numero iniziale originario). E questo è valido da qualsiasi numero partiamo.
Serghey … dobbiamo fare però un’analisi, sempre per quanto concerne il prodotto, non tanto con i numeri decimali in sé stessi, quanto per i numeri (o frazioni) inferiori all’unità. Un Infinitesimo lo possiamo moltiplicare per un numero inferiore all’unità? Quale sarà il suo risultato?
John Credo che non ci siano problemi; l’Infinitesimo è matematicamente il valore più piccolo immaginabile, come fosse "il quanto matematico" nelle unità di misura di Planck e quindi qualsiasi sia l’operazione aritmetica compiuta, non potremmo mai avere un’entità minore dell’Infinitesimo stesso: moltiplicare “Un Infinitesimo” per 0,5 (oppure ½) non potrà mai fare “mezzo Infinitesimo”, pertanto il risultato, anche se apparentemente è incoerente, sarà sempre “Un Infinitesimo”.
Serghey … ma dai! Proprio tu che non volevi essere incoerente, irrazionale …
John ..eppure, non esiste alternativa: sarebbe molto più illogico, anzi inammissibile “spezzare” ulteriormente Un Infinitesimo. Del resto se potessimo sminuzzarlo ancora, non sarebbe più “Un Infinitesimo”
Serghey Si … è vero … ma lo Zero = Infinitesimo, come si comporta nella divisione? Credo che qui il problema possa essere più complesso.
John … forse! Ma ora sono io che voglio farti una domanda, come dici tu, semplice semplice: grazie al nostro “Infinitesimo”, ora possiamo permetterci di eseguire qualsiasi operazione di moltiplicazione ed avere un risultato preciso … all’Infinitesimo. Ma cosa succede durante una divisione dove lo Zero potrebbe trovarsi sia come divisore, oppure come dividendo? E se si trovasse contemporaneamente nelle due posizioni?
Serghey … mi pare che all’ultima domanda abbiamo già implicitamente risposto: se Zero fratto Zero, è equivalente ad Un Infinitesimo fratto Un Infinitesimo, allora il risultato non può essere che 1. Anche per quanto riguarda lo Zero come dividendo, abbiamo già visto che il risultato non potrà mai essere inferiore ad “Un Infinitesimo”, mentre se adoperiamo un divisore inferiore all'unità, il risultato al massimo potrà corrispondere all’unità.
Per lo Zero come divisore, invece avremmo bisogno di fare alcune distinzioni, anche perché ad oggi nella matematica ufficiale tale risultato sarebbe indefinito. Però potrei dire quasi immediatamente che 1 fratto Zero (1/0 ) dovrebbe dare come risultato Infinito; corrisponde cioè ad 1 diviso un Infinitesimo (1 : 1/∞). Ma presumo che se al posto dell’1 avessi il 2 (cioè 2 : 1/∞), il risultato dovrebbe essere “Due Infiniti”. Ma forse è illogico pensarlo in quanto, se non esiste niente di più piccolo di Un Infinitesimo, non dovrebbe esistere nulla di più grande di Infinito. … ma mica sono tanto sicuro; lasciami riflettere … e tu cosa ne pensi?
John … penso che di “Infiniti” ce ne possano essere infiniti; considera per esempio quante rette (o semirette) possano passare per un sol punto, oppure …
Serghey sì … ma qui stiamo parlando di numeri, di aritmetica, di matematica, cioè di elementi che appartengono ad uno stesso insieme, e come tu sai gli elementi non possono comparire più di una volta, altrimenti farebbero parte di un multi-insieme … ma … aspetta credo che stia dicendo una stupidaggine …
John … forse … ma io stavo provando a fare solo un ragionamento logico … logico forse solo per me … volevo dire che mentre da una parte riesco ad immaginare più Infiniti, uniti, intersecati, distinti, sovrapposti o intrecciati … dall’altra parte non riesco ad immaginare nulla di più piccolo di “Un Infinitesimo” pur avendo a disposizione diversi Infiniti.
Serghey … certo! … allora io credo … che sostituire lo Zero con Un Infinitesimo, qualsiasi sia l'espressione matematica, potrebbe aprire nuovi spiragli di calcolo, e rendere possibili orizzonti nuovi, forse prima indeterminabili.
Devo dire però che, date le nostre conoscenze non prettamente matematiche, dovremmo lasciare aperto il problema relativamente ad uno o più infiniti e magari “stimolare” qualche matematico teorico a trovare nuove soluzioni.
John Sì! Questo sicuramente si! Crearsi dubbi, osservare, riflettere , così come esaminare le situazioni, da prospettive diverse o insolite, permette all’uomo una crescita ed una visione complessiva migliore; tutto ciò, inoltre, alimenta l’ingegno, vero ed unico motore per il nostro sviluppo e per l’acquisizione di conoscenze future!
NonSoloGrigio (Fabio Mattia)